一加一為什麼等於二??????

　　在奇摩搜尋資料時，不經意看到了這個標題－－一加一為什麼等於二？

　　好奇心驅使下迫使自己點進去看看會有什麼樣的答案。果不其然還是會有kuso的答案：例如－－1+1等於2，此為基本公理。是一個為人的基本規則。好啊！最好是跟做人還扯上關係。但還是有人非常認真地回答了這個問題，茲摘錄於下。

　　最近在AXN看到一部新的影集：數字搜查線（Numbers）。劇情還不錯；但每次主角說起一堆公式和理論之時，當下只有Orz......，詹大師啊！我對不起你啊！我連初等微積分都讀不好，怎麼活在這世上啊！！！


Ｐ.Ｓ：詹大師是屏商專用英文唸微積課文的教授！
再Ｐ.Ｓ：沒心理準備還是不要點繼續閱讀了，免得懷疑自己到底會不會數學。



證明: 1+1=2

一、先瞭解peano 公設：所謂自然數,就是滿足下列條件

1.一集合N 中,有元素n,及後繼元素n+,n+與n 對應.
2.元素e 必定屬於N 中.
3.元素e 在N 中不為任一元素的後繼元素.
4.N 中的元素,a+=b+則a=b.(元素唯一)
5.(歸納公設)S 為N 的子集,e 屬於S,n 屬於S,n+也屬於S.那麼S=N.N 就是我們說的自然數集合.其中我們規定e:=1, e+:=2, (e+)+:=3,.....以此類推.

二、再來定義加法

加法(+)為一函數,這函數滿足兩個條件
1.(+)(n,e)=n+ 寫成大家熟悉的式子1.n(+)e=n+
2.(+)(n,m+)=((+)(n,m))+ 2.n(+)m+=(n(+)m)+
滿足上面條件的函數(+),我們稱為加法+.(+):=+
滿足這兩條件的函數是可以證明存在且唯一：證明如下
因為(+)(e,e)=e+
e(+)e=e+
所以1+1=2 得證.
存在：
e, e+ ,(e+)+,…… 即所有自然數
唯一：
n N " ? ，
+(n,e)=n+
+(n,e+)=(+(n,e))+
+(n,e+)+)=………
故(+)存在且唯一

上述證明翻成白話文如下：

自然數系依加法運算分別是：1，1+，(1+)+，……。而這些1+，（1+）+，…就用符號2，3，…
表示，所以1 + 1指的是1後面那一個數字，也就是1+，自然就是2。
為什麼會有Peano 公設，及定義加法，這起源於十九世紀末，二十世紀初，Hibert，Brouwer，
因物理上狹義相對論，及量子論推翻了物理舊基礎，而數學家們因此想證明，數學是有堅固基礎，是不變的真理。所以希望能從邏輯上建立一個完整、嚴密的基礎，於是第一個當然針對自然數系開始，希望能像歐氏幾何一樣，從基本公設，經由邏輯就可以得到完整的自然數系性質，所以歸結出Peano 五個公設（其實後人把它進一步歸結成三個），而羅素與他的老師懷海德合寫<<數學原理>>三大卷，就是做了一部份工作。Hilbert 擬了一連串計畫要把數學的基礎轉化成邏輯，這樣一來，數學家就可以宣稱「數學是真理」。不幸的是，1929年Godel 23歲時證明了一個定理：

不完全性定理：

如果有一個系統包含算術，而且這一系統的基本假設並不會互相矛盾，那麼這個系統中一定存在一個命題，這一個命題的肯定或否定都無法證明。
所以數學並不只是邏輯。當然「1 + 1 = 2」的證明是否很有意義，可以從Godel的定理來看看。

不管如何，亞里斯多德說：「知識始於驚奇」，若有興趣不妨去看看下面的書：
1. 希爾伯特的23個數學問題（天下文化）：第五章。
2. 哥德爾不完全性定理（九章）。